LAT1⇒DPFの平均PUDの計算

最後にLAT1からDPFへの平均PUDを計算します。

LAT1からDPFへの遷移(d)の平均PUDは、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_\text{DPF(d),IFR}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{DPF via (d) at }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{LAT1 at }t\cap\text{SM down in }(t, t+dt]\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{SM down in }(t, t+dt]\ |\ \text{LAT1 at }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\text{LAT1 at }t\} \end{eqnarray} \tag{1089.1} $$

IF preventableのdown状態は、 $$ \begin{eqnarray} \Pr\{\text{IF}^{\text{R}}_{\text{prev}}\text{ down at }t\}&=&K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\left[(1-K_\text{IF,MPF})F_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}F_\text{IF}(u)\right]\\ &=&K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}Q_\text{IF}(t) \end{eqnarray} \tag{1089.2} $$ となります。ただし、$Q_\text{IF}(t):=(1-K_\text{IF,MPF})F_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}F_\text{IF}(u)$です。

また、SMのup状態を、$A_\text{SM}(t):=(1-K_\text{SM,MPF})R_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}R_\text{SM}(u)$とすれば、 $$ \begin{eqnarray} \Pr\{\text{LAT1 at }t\}&=&\Pr\{\text{IF}^{\text{R}}_{\text{prev}}\text{ down at }t\cap\text{SM up at }t\}\\ &=&K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\left[(1-K_\text{IF,MPF})F_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}F_\text{IF}(u)\right]A_\text{SM}(t)\\ &=&K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}Q_\text{IF}(t)A_\text{SM}(t) \end{eqnarray} \tag{1089.3} $$ と書けます。

一方、(1089.1)の右辺積分中の条件付き確率式は、 $$ \require{cancel} \begin{eqnarray} &&\hspace{-6em}\Pr\{\text{SM down in }(t, t+dt]\ |\ \text{LAT1 at }t\}\\ &=&\Pr\{\text{SM down in }(t, t+dt]\ |\ \text{SM up at }t\cap\bcancel{\text{IF}^{\text{R}}_{\text{prev}}\text{ down at }t}\}\\ &=&\Pr\{\text{SM down in }(t, t+dt]\ |\ \text{SM up at }t\}\\ &=&\lambda_\text{SM}dt \end{eqnarray} \tag{1089.4} $$ です。

(1089.3)、(1089.4)を(1089.1)に用いれば、 $$ \begin{eqnarray} (1089.1)&=&\frac{K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[(1-K_\text{IF,MPF})F_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}F_\text{IF}(u)\right]\\ & &\cdot\left[(1-K_\text{SM,MPF})f_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}f_\text{SM}(u)\right]dt\\ &\approx&\bbox[#ccffff,2pt]{K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta_\text{d}},\\ & &\text{ただし、}\beta_\text{d}:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{IF,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{IF,MPF}\tau\right] \end{eqnarray} \tag{1089.5} $$ です。

従来記事では、(1089.5)の積分結果を$\beta$とし、$K_\text{IF,MPF}$と$K_\text{SM,MPF}$を合成した$K_\text{MPF}$を用いていました。しかし、LAT1⇒DPF(d)ではIFが先に潜在しており、SMは後から発生する故障です。したがって、露出時間を決めるのはIF側のMPF検出率$K_\text{IF,MPF}$であり、SM側の$K_\text{SM,MPF}$は一次近似結果には現れません。

すなわち、この遷移(d)に対応する量は、従来の$\beta$ではなく、 $\beta_\text{d}:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{IF,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{IF,MPF}\tau\right]$ です。

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LAT2⇒DPFの平均PUDの計算

LAT2⇒DPFの遷移(c)の平均PUDを計算します。

LAT2の状態のうち、IF preventable部分について考えます。

$$ \begin{eqnarray} \overline{q_\text{DPF(c),IFR}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{DPF via (c) at }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{LAT2}_{\text{prev}}\text{ at }t\cap\text{IF}^{\text{R}}\text{ down in }(t, t+dt]\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{IF}^{\text{R}}\text{ down in }(t, t+dt]\ |\ \text{LAT2}_{\text{prev}}\text{ at }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\text{LAT2}_{\text{prev}}\text{ at }t\} \end{eqnarray} \tag{1088.1} $$

IF preventableのup状態は、従来はMPF detectedをMPF latent扱いとしていましたが、本再検討ではMPF detectedをnon faultyとして扱います。したがって、IF preventableのup状態は、 $$ \begin{eqnarray} \Pr\{\text{IF}^{\text{R}}_{\text{prev}}\text{ up at }t\}&=&K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}\left[R_\text{IF}(t)+F_\text{IF}(t)\right]\\ & &+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\left[(1-K_\text{IF,MPF})R_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}R_\text{IF}(u)\right]\\ &=&K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}A_\text{IF}(t) \end{eqnarray} \tag{1088.2} $$ となります。ただし、$A_\text{IF}(t):=(1-K_\text{IF,MPF})R_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}R_\text{IF}(u)$です。

また、SMのdown状態を、$Q_\text{SM}(t):=(1-K_\text{SM,MPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(u)$とすれば、 $$ \begin{eqnarray} \Pr\{\text{LAT2}_{\text{prev}}\text{ at }t\}&=&\Pr\{\text{IF}^{\text{R}}_{\text{prev}}\text{ up at }t\cap\text{SM down at }t\}\\ &=&\left[K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}A_\text{IF}(t)\right]Q_\text{SM}(t) \end{eqnarray} \tag{1088.3} $$ となります。

一方、(1088.1)の右辺積分中の条件付き確率式は、 $$ \require{cancel} \begin{eqnarray} &&\hspace{-6em}\Pr\{\text{IF}^{\text{R}}\text{ down in }(t, t+dt]\ |\ \text{LAT2}_{\text{prev}}\text{ at }t\}\\ &=&\Pr\{\text{IF}^{\text{R}}\text{ down in }(t, t+dt]\ |\ \text{IF}^{\text{R}}_{\text{prev}}\text{ up at }t\cap\bcancel{\text{SM down at }t}\}\\ &=&\Pr\{\text{IF}^{\text{R}}\text{ down in }(t, t+dt]\ |\ \text{IF}^{\text{R}}\text{ up at }t\}\\ &=&\lambda_\text{IF}dt \end{eqnarray} \tag{1088.4} $$ です。

(1088.3)、(1088.4)を(1088.1)に用いれば、 $$ \begin{eqnarray} (1088.1)&=&\frac{K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}\lambda_\text{IF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[(1-K_\text{SM,MPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(u)\right]dt\\ & &+\frac{K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[(1-K_\text{SM,MPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(u)\right]\\ & &\cdot\left[(1-K_\text{IF,MPF})f_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}f_\text{IF}(u)\right]dt \end{eqnarray} \tag{1088.5} $$ となります。

ここで、(1088.5)の第二積分において、周期検査により露出時間が短縮されるかどうかを決めるのは、先に潜在しているSM側の$F_\text{SM}(u)$です。後から発生するIF故障密度側の$f_\text{IF}(u)$により、積分結果がさらに$\tau$側へ移るわけではありません。したがって、第二積分も従来の$\beta$ではなく、$\alpha$となります。

よって、正しい積分公式より、 $$ \begin{eqnarray} (1088.5)&\approx&K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}\alpha+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\alpha\\ &=&\bbox[#ccffff,2pt]{K_\text{IF,RF}\alpha},\\ & &\text{ただし、} \alpha:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,MPF}\tau\right] \end{eqnarray} \tag{1088.6} $$ です。

従来記事では、(1088.5)の第二積分を$\beta$とし、$K_\text{IF,MPF}$と$K_\text{SM,MPF}$を合成した$K_\text{MPF}$を用いていました。しかし、LAT2⇒DPF(c)ではSMが先に潜在しており、IFは後から発生する故障です。したがって、露出時間を決めるのはSM側のMPF検出率$K_\text{SM,MPF}$であり、IF側の$K_\text{IF,MPF}$は一次近似結果には現れません。

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LAT2⇒SPFの平均PUDの計算

次にLAT2からSPFの遷移(b)の平均PUDを計算します。この確率積分も、IF non preventable部分に関するものであるため、MPF detectedの変更の影響を受けません。

本稿では、旧記事における状態整理表は再掲せず、導出に必要な量のみを以下に定義します。ここで、周期検査間隔を$\tau$、車両寿命を$T_\text{lifetime}$とし、$u:=t\bmod\tau$とします。

LAT2の状態のうち、IF non preventable部分について考えます。

$$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\text{SPF(b),IFR}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{SPF via (b) at }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{LAT2}_{\overline{\text{prev}}}\text{ at }t\cap\text{IF}^{\text{U}}\text{ down in }(t, t+dt]\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{IF}^{\text{U}}\text{ down in }(t, t+dt]\ |\ \text{LAT2}_{\overline{\text{prev}}}\text{ at }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\text{LAT2}_{\overline{\text{prev}}}\text{ at }t\} \end{eqnarray} \tag{1087.1} $$

ここで、IF non preventableのup状態は、$\Pr\{\text{IF}^{\text{U}}_{\overline{\text{prev}}}\text{ up at }t\}=(1-K_\text{IF,RF})R_\text{IF}(t)$です。また、SMのdown状態を、 $Q_\text{SM}(t):=(1-K_\text{SM,MPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(u)$と定義すれば、 $$ \begin{eqnarray} \Pr\{\text{LAT2}_{\overline{\text{prev}}}\text{ at }t\}&=&\Pr\{\text{IF}^{\text{U}}_{\overline{\text{prev}}}\text{ up at }t\cap\text{SM down at }t\}\\ &=&(1-K_\text{IF,RF})R_\text{IF}(t)Q_\text{SM}(t) \end{eqnarray} \tag{1087.2} $$ となります。

一方、(1087.1)の右辺積分中の条件付き確率式は、 $$ \require{cancel} \begin{eqnarray} &&\hspace{-6em}\Pr\{\text{IF}^{\text{U}}\text{ down in }(t, t+dt]\ |\ \text{LAT2}_{\overline{\text{prev}}}\text{ at }t\}\\ &=&\Pr\{\text{IF}^{\text{U}}\text{ down in }(t, t+dt]\ |\ \text{IF}^{\text{U}}_{\overline{\text{prev}}}\text{ up at }t\cap\bcancel{\text{SM down at }t}\}\\ &=&\Pr\{\text{IF}^{\text{U}}\text{ down in }(t, t+dt]\ |\ \text{IF}^{\text{U}}\text{ up at }t\}\\ &=&\lambda_\text{IF}dt \end{eqnarray} \tag{1087.3} $$ です。

よって、(1087.1)式は、 $$ \begin{eqnarray} (1087.1)&=&\frac{1-K_\text{IF,RF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\text{SM}(t)R_\text{IF}(t)\lambda_\text{IF}dt\\ &=&\frac{1-K_\text{IF,RF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\text{SM}(t)f_\text{IF}(t)dt \end{eqnarray} \tag{1087.4} $$ となります。

ここで、$Q_\text{SM}(t)=(1-K_\text{SM,MPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(u)$ であるため、(1087.4)は、 $$ \begin{eqnarray} (1087.4)&\approx&\frac{1-K_\text{IF,RF}}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,MPF}\tau\right]\\ &=&\bbox[#ccffff,2pt]{(1-K_\text{IF,RF})\alpha},\\ & &\text{ただし、} \alpha:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,MPF}\tau\right] \end{eqnarray} \tag{1087.5} $$ です。

この導出では、SMが既にdownしている状態からIF non preventable故障が発生するため、積分の基本形は$Q_\text{SM}(t)f_\text{IF}(t)$となります。したがって、前稿と同じ$\alpha$が現れ、MPF detectedの扱いを変更しても、このSPF(b)項の結果は変わりません。

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OPR⇒SPFの平均PUDの計算

従来はMPF detectedをMPF latent扱いにしていたものを、non faultyに変更しました。そもそもMPFの意味はVSG preventableなIFのフォールト、すなわち1st SMによりVSGの抑止を受けたIFのフォールトであるため、SPFの計算に影響はありません。SPFは、IFのフォールトがnon preventable、すなわちVSG抑止不可の場合に起きるためです。

本稿では、旧記事における状態整理表は再掲せず、導出に必要な量のみを以下に定義します。ここで、周期検査間隔を$\tau$、車両寿命を$T_\text{lifetime}$とし、$u:=t\bmod\tau$とします。

OPRからSPFへの平均PUD(66.13)を計算します。

OPRからSPFへの平均PUDは、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_\text{SPF(a),IFU}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{SPF via (a) at }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{OPR}_{\overline{\text{prev}}}\text{ at }t\cap\text{IF down in }(t, t+dt]\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{IF down in }(t, t+dt]\ |\ \text{OPR}_{\overline{\text{prev}}}\text{ at }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\text{OPR}_{\overline{\text{prev}}}\text{ at }t\} \end{eqnarray} \tag{1086.1} $$

ここで、IF non preventableのup状態は、 $$ \Pr\{\text{IF}^{\text{U}}_{\overline{\text{prev}}}\text{ up at }t\}=(1-K_\text{IF,RF})R_\text{IF}(t)\tag{1086.2} $$ また、SMのup状態を、$A_\text{SM}(t):=(1-K_\text{SM,MPF})R_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}R_\text{SM}(u)$と定義すれば、 $$ \begin{eqnarray} \Pr\{\text{OPR}_{\overline{\text{prev}}}\text{ at }t\}&=&\Pr\{\text{IF}^{\text{U}}_{\overline{\text{prev}}}\text{ up at }t\cap\text{SM up at }t\}\\ &=&(1-K_\text{IF,RF})R_\text{IF}(t)A_\text{SM}(t) \end{eqnarray} \tag{1086.3} $$ となります。

一方、(1086.1)の右辺積分中の条件付き確率式は、 $$ \require{cancel} \begin{eqnarray} &&\hspace{-6em}\Pr\{\text{IF}^{\text{U}}\text{ down in }(t, t+dt]\ |\ \text{OPR}_{\overline{\text{prev}}}\text{ at }t\}\\ &=&\Pr\{\text{IF}^{\text{U}}\text{ down in }(t, t+dt]\ |\ \text{IF}^{\text{U}}_{\overline{\text{prev}}}\text{ up at }t\cap\bcancel{\text{SM up at }t}\}\\ &=&\Pr\{\text{IF}^{\text{U}}\text{ down in }(t, t+dt]\ |\ \text{IF}^{\text{U}}\text{ up at }t\}\\ &=&\lambda_\text{IF}dt \end{eqnarray} \tag{1086.4} $$ です。ここで途中式でSM関連の項を消している理由は、記事#103の(103.4)に因るものです。

よって平均PUDは、 $$ \overline{q_\text{SPF(a),IFU}}=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}(1-K_\text{IF,RF})R_\text{IF}(t)A_\text{SM}(t)\lambda_\text{IF}dt \tag{1086.5} $$ となります。

ここで、$A_\text{SM}(t)=(1-K_\text{SM,MPF})R_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}R_\text{SM}(u)$であるため、(1086.5)は $$ \begin{eqnarray} (1086.5)&=&\frac{1-K_\text{IF,RF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}R_\text{IF}(t)\left[(1-K_\text{SM,MPF})R_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}R_\text{SM}(u)\right]\lambda_\text{IF}dt\\ &\approx&(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-\frac{1-K_\text{IF,RF}}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,MPF}\tau\right]\\ &=&\bbox[#ccffff,2pt]{(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-(1-K_\text{IF,RF})\alpha},\\ & &\text{ただし、} \alpha:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,MPF}\tau\right] \end{eqnarray} \tag{1086.6} $$ です。

この導出では、SMがdownしている確率が$R_\text{SM}(t)$または$R_\text{SM}(u)$を通じて現れるため、2次の補正項として$\alpha$が現れます。一方で、SPF(a)そのものはIF non preventableの故障により生じるため、主項は従来どおり$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$です。

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本稿では、記事#367から始まる「MPF detectedへの変更の再検討」シリーズにおけるPMHF導出を再検討します。当時の記事では事象を自然言語で記述していますが、あえてそのままにします。訂正対象は、周期検査を含む積分評価において、$F(t)$, $F(u)$, $f(t)$, $f(u)$の寄与を取り違えた部分です。したがって本稿では、当時の記述スタイルとステート図を維持したまま、積分計算のみを修正します。

また、ISO 26262-10:2018の当該例では、SM1はIFの故障を検出、制御、通知する安全機構として示されています。そのため、本稿でも従来記事と同様に、SM1単独の故障が直接VSGとなる遷移は置かず、SM1故障はIF故障との組合せによりDPFを構成するものとして扱います。

再検討にあたっては計算の容易さから、図222.1を参照して、$\text{IF}^{\text{R}}$をpreventableとnon preventableに分解して考えます。具体的には、CTMC図1085.1に示すようにLAT2からの分岐をSPF方向(b)とDPF方向(c)に分離します。ただし、分解してもしなくても統合した結果は同じです。

(1085.1)に、新しい記号の定義を示します。

$$ \begin{eqnarray} \{\text{IF}^{\text{R}}_{\text{prev}}\text{ up at }t\}&:=&\{\text{IF}^{\text{R}}\text{ up at }t\ \cap\ \text{IF preventable}\}\\ \{\text{IF}^{\text{R}}_{\overline{\text{prev}}}\text{ up at }t\}&:=&\{\text{IF}^{\text{R}}\text{ up at }t\ \cap\ \overline{\text{IF preventable}}\}\tag{1085.1} \end{eqnarray} $$

より、

$$ \begin{eqnarray} \{\text{IF}^\text{R}\text{up at}t\}&=&\{\text{IF}^{\text{R}}_{\text{prev}}\text{ up at }t\}\cup\{\text{IF}^{\text{R}}_{\overline{\text{prev}}}\text{ up at }t\}\tag{1085.2} \end{eqnarray} $$

が成立します。

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過去記事の改版です。

ISO 26262のPMHFの導出の場合、微小確率の積分を実行する際に次の(1078.1)式が出てくるため、あらかじめ結果を導出しておき、後程積分公式として使用します。

サブシステムにエレメント1及び2があり、$\lambda_1, \lambda_2\ll 1, T_\text{lifetime}=T=n\tau, u=t\bmod\tau$とするとき、

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{1}(t) f_\text{2}(t)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_1\lambda_2T,\cdots(1)\tag{1078.1}\\ \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{1}(u) f_\text{2}(t)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_1\lambda_2\tau,\cdots(2)\\ \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{1}(t) f_\text{2}(u)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_1\lambda_2T,\cdots(3)\\ \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{1}(u) f_\text{2}(u)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_1\lambda_2\tau\cdots(4) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

まず、基本的に被積分関数は$t$に関する1次式とします。これは積分すると2次に次数が上がり、PMHFレベルでは2次までの近似で良いからです。従って、過去記事のようにまじめにexponentialで展開せずに、$\lambda_x t\ll 1$の条件下で、

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} F_x(t)=1-e^{-\lambda_x t}\approx\lambda_x t\\ f_x(t)=\lambda_x e^{-\lambda_x t}=\lambda_x R_x(t)\approx \lambda_x \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1078.2} $$ で近似してしまいます。すると、(1078.1)の(1)は

$$ \require{cancel} \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{1}(t)f_\text{2}(t)dt\approx\frac{1}{T}\int_0^{T}\lambda_\text{1}t\cdot\lambda_\text{2}dt\\ =\frac{1}{\bcancel{T}}\lambda_\text{1}\lambda_\text{2}\frac{1}{2}T^\bcancel{2} =\frac{1}{2}\lambda_\text{1}\lambda_\text{2}T \tag{1078.3} $$

結果の1と2に関する対称性から推測可能なように、(1078.1)の(1)において1と2を入れ替えた次の式も同じ値となります。 $$ \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{2}(t)f_\text{1}(t)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_\text{1}\lambda_\text{2}T\tag{1078.4} $$ 次に(1078.1)の(2)からはやや複雑になりますが、基本的には同様な計算を行います。$T=n\tau, t=i\tau+u (i=0, 1, \ldots, n-1), u=t\bmod\tau$という区間分割を行い、 $$ \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{1}(u)f_\text{2}(t)dt \approx\frac{1}{T}\sum_{i=0}^{n-1}\int_0^\tau\lambda_\text{1}u\cdot\lambda_\text{2}dt =\frac{n}{T}\lambda_\text{1}\lambda_\text{2}\int_0^{\tau}u\ du\\ =\frac{\bcancel{n}}{\bcancel{T}}\lambda_\text{1}\lambda_\text{2}\frac{1}{2}\tau^\bcancel{2}=\frac{1}{2}\lambda_\text{1}\lambda_\text{2}\tau \tag{1078.5} $$ となり、また1と2を入れ替えた次の式も同じ値となります。 $$ \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{2}(u) f_\text{1}(t)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_\text{2}\lambda_\text{1}\tau\ \tag{1078.6} $$

次は(1078.1)の(3)です。これはエレメント2の$u$に関する項が(1078.2)を用いると定数$\lambda_2$になります。そのため被積分関数は$t$の関数であり区間分割は行う必要はありません。従って(1078.3)を用いて、 $$ \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{1}(t) f_\text{2}(u)dt \approx\frac{1}{T}\int_0^T\lambda_\text{1}t\cdot\lambda_\text{2}dt \approx\frac{1}{2}\lambda_1\lambda_2T \tag{1078.7} $$ となり、また1と2を入れ替えた次の式も同じ値となります。 $$ \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{2}(t) f_\text{1}(u)dt \approx\frac{1}{2}\lambda_1\lambda_2T \tag{1078.8} $$

最後は(1078.1)の(4)です。これも同様にエレメント2に関する項が定数であるから、(1078.5)を用いて、 $$ \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{1}(u) f_\text{2}(u)dt \approx\frac{1}{T}\sum_{i=0}^{n-1}\int_0^\tau\lambda_\text{1}u\cdot\lambda_\text{2}dt \approx\frac{1}{2}\lambda_1\lambda_2\tau \tag{1078.9} $$ となり、また1と2を入れ替えた次の式も同じ値となります。 $$ \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{2}(u) f_\text{1}(u)dt \approx\frac{1}{2}\lambda_1\lambda_2\tau \tag{1078.10} $$ 過去記事と違ってうまい方法を取ったため、簡単に結果を求めることができました。

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PMHFの導出の前提には2通りあります。具体的には、1st SMによって検出され、VSG抑止されたフォールト(MPF detected fault)に関して、

• MPF detected faultをlatent faultとする
• MPF detected faultを直ちに修理する

の2通りの立場があります。規格にはMPF detected faultの処置について明確に書かれていないので、従来はLFとするとしていました。この前提に基づき2020 RAMS論文を投稿しています。

ところが、これだとLFMの定義と矛盾するので、その矛盾の解消のため、2番目の立場を採用した2022 RAMS論文(IEEE未収録)を投稿しました。

後者のまとめの記事は記事#374に書きましたが、前者をまとめていませんでしたので、以下に表を用いてまとめます。元になる表と導出法は、それぞれ表375.1及び表368.2と記事#376です。

$$ \text{ただし、} \begin{cases} \alpha:=\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]\\ \beta:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{MPF}\tau\right]\\ K_\text{MPF}:=K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}-K_\text{IF,MPF}K_\text{SM,MPF} \end{cases}\\ \begin{cases} \begin{eqnarray} 非冗長系の時は\color{red}{K_\text{IF,det}}&=&1\\ 冗長系の時は\color{red}{K_\text{IF,det}}&=&0, K_\text{IF,RF}=1\\ \end{eqnarray} \end{cases} $$

表492.1に対して、非冗長系、冗長系のKパラメータを上記に示すとおり代入した表を表492.2及び表492.3に示します。

非冗長系

$$ M_\text{PMHF,NRD}=\bbox[#ccffff,2pt]{(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+2K_{\text{IF,RF}}\alpha}\\ =(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_{\text{IF,RF}}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau] \tag{492.1}$$

(492.1)に関しては後者の記事、#374との違いは係数2の違いとなります。

冗長系

$$M_\text{PMHF,RD}=\bbox[#ccffff,2pt]{2\beta}=\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{MPF}\tau\right]\tag{492.2}$$

(492.2)に関しては後者の記事、#374との違いはありません。その理由は、冗長系においてはMPF detected faultが存在しないためです。

$\dagger$規格式1: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第1式の条件。ブログの図367.1)において、IFが後にフォールトする場合=(a)SPF、(b)SPF及び(c)DPF。(d)DPFはSMが後にフォールトする場合なので対象外
$\dagger$規格式3: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第3式の条件。ブログの図367.1)において、IF, SMのフォールトの順を問わない場合=(a)SPF、(b)SPF、(c)DPF及び(d)DPF。

RAMS 2022においてMPF detectedの再考に基づくPMHF式の論文発表が終了したため、秘匿部分を開示します。

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MPF detectedへの変更の再計算した結果を表を用いてまとめます。

$$ \text{ただし、} \begin{cases} \alpha:=\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]\\ \beta:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{MPF}\tau\right]\\ K_\text{MPF}:=K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}-K_\text{IF,MPF}K_\text{SM,MPF} \end{cases}\\ \begin{cases} \begin{eqnarray} 非冗長系の時は\color{red}{K_\text{IF,det}}&=&1\\ 冗長系の時は\color{red}{K_\text{IF,det}}&=&0, K_\text{IF,RF}=1\\ \end{eqnarray} \end{cases} $$

表374.1に対して、非冗長系、冗長系のKパラメータを上記に示すとおり代入した表を表374.2及び表374.3に示します。

非冗長系

$$ M_\text{PMHF,NRD}=\bbox[#ccffff,2pt]{(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_{\text{IF,RF}}\alpha}\\ =(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_{\text{IF,RF}}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau] \tag{374.1}$$

冗長系

$$M_\text{PMHF,RD}=\bbox[#ccffff,2pt]{2\beta}=\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{MPF}\tau\right]\tag{374.2}$$

$\dagger$規格式1: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第1式の条件。ブログの図367.1)において、IFが後にフォールトする場合=(a)SPF、(b)SPF及び(c)DPF。(d)DPFはSMが後にフォールトする場合なので対象外
$\dagger$規格式3: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第3式の条件。ブログの図367.1)において、IF, SMのフォールトの順を問わない場合=(a)SPF、(b)SPF、(c)DPF及び(d)DPF。

RAMS 2022においてMPF detectedの再考に基づくPMHF式の論文発表が終了したため、秘匿部分を開示します。

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よって、MPF detectedを考慮した場合のPMHFは、それぞれの事象は排他であることから、(369.6)、(370.5)、(371.6)、(372.5)で求められた平均PUDを全て加えることで求められ、 $$ \begin{eqnarray} \require{cancel} M_\text{PMHF}&=&\overline{q_\mathrm{SPF(a),IFU}}+\overline{q_\mathrm{SPF(b),IFR}}+\overline{q_\mathrm{DPF(c),IFR}}+\overline{q_\mathrm{DPF(d), IFR}}\\ &=&(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-\bcancel{(1-K_\text{IF,RF})\alpha}\qquad\qquad\qquad\img[-0.25em]{/images/left-arrow.png}(a)\\ & &+\bcancel{(1-K_\text{IF,RF})\alpha}\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\img[-0.25em]{/images/left-arrow.png}(b)\\ & &+K_{\text{IF,RF}}\color{red}{K_\text{IF,det}} \alpha+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta\quad\qquad\img[-0.25em]{/images/left-arrow.png}(c)\\ & &+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\img[-0.25em]{/images/left-arrow.png}(d)\\ &=&\bbox[#ccffff,2pt]{(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_{\text{IF,RF}}\color{red}{K_\text{IF,det}}\alpha+2K_\mathrm{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta}\\ &=&(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_{\text{IF,RF}}\color{red}{K_\text{IF,det}}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]\\ & &+K_\mathrm{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau],\\ \end{eqnarray}\tag{373.1} $$

$$ ただし、\begin{cases} \begin{eqnarray} \alpha&:=&\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau],\\ \beta&:=&\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau],\\ K_{\mathrm{MPF}}&:=&K_{\mathrm{IF,MPF}}+K_{\mathrm{SM,MPF}}-K_{\mathrm{IF,MPF}}K_{\mathrm{SM,MPF}} \end{eqnarray} \end{cases} $$ この一般式に対して場合分けを行って、

1. 非冗長系においては抑止されるフォールトは全て検出可能なので、(373.1)において$\color{red}{K_\text{IF,det}}=1$とすれば$\beta$の項が消去され、 $$ M_\text{PMHF,NRD}=\bbox[#ccffff,2pt]{(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_\text{IF,RF}\alpha}\\ =(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{SM,MPF}\tau] \tag{373.2} $$

2. 冗長系においては抑止されるフォールトは(1st SMでは)全て検出不可であり、逆に全て抑止されるため、(373.1)において$\color{red}{K_\text{IF,det}}=0, K_\text{IF,RF}=1$とすれば$\alpha$の項が消去され、 $$ M_\text{PMHF,RD}=\bbox[#ccffff,2pt]{2\beta}=\lambda_\mathrm{IF}\lambda_\mathrm{SM}[(1-K_\mathrm{MPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{MPF}\tau] \tag{373.3} $$

このように、非冗長系と冗長系に対するPMHF式が導出されます。

上記場合分け1.の非冗長系の(373.2)は、DPF項は変更前の1/2になっています。これはIFのLFが無くなり、SMのLFのみになったためです。SMのLF量は変わらないため、1/2になります。

上記場合分け2.の冗長系においては、そもそもMPF detectedが無いため、変更前と結果は変わりません。

RAMS 2022においてMPF detectedの再考に基づくPMHF式の論文発表が終了したため、秘匿部分を開示します。

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LAT1⇒DPFの平均PUDの計算

最後にLAT1からDPFへの平均PUDを計算します。

LAT1からDPFへの遷移(d)の平均PUDは、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF(d),IFR}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{DPF\ via\ (d)\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT1\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt)\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT1\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT1\ at\ }t\} \end{eqnarray} \tag{372.1} $$ 同様に表368.1より、IF preventableのdown状態は(5)及び(7)であることから、 $$ \Pr\{\mathrm{IF^R_\text{prev}\ down\ at\ }t\}\\ =K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\left[(1-K_\text{IF,MPF})F_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}F_\text{IF}(u)\right]\\ =K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}Q_\text{IF}(t) \tag{372.2} $$ となります。よって、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT1\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF^R_{prev}\ down\ at\ }t\cap\text{SM up at }t\}\\ =K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\left[(1-K_\text{IF,MPF})F_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}F_\text{IF}(u)\right]A_{\mathrm{SM}}(t)\\ =K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}Q_\text{IF}(t)A_{\mathrm{SM}}(t) \tag{372.3} $$ と書けます。

一方、 $$ \require{cancel} \Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT1\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{SM\ up\ at\ }t\cap\bcancel{\mathrm{IF^R_{prev}\ down\ at\ }t}\}\\ =\Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{SM\ up\ at\ }t\}=\lambda_{\mathrm{SM}}dt\tag{372.4} $$ であるから、(372.1)は、(106.4)を用いて、 $$ \begin{eqnarray} (372.1)&=&\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[(1-K_{\mathrm{IF,MPF}})F_{\mathrm{IF}}(t)+K_{\mathrm{IF,MPF}}F_{\mathrm{IF}}(u)\right]\\ & &\cdot\left[(1-K_\text{SM,MPF})f_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}f_\text{SM}(u)\right]dt\\ &\approx&\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}}{2}\lambda_{\mathrm{SM}}\lambda_{\mathrm{IF}}\left[(1-K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau\right]\\ &=&K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta, \end{eqnarray}\tag{372.5} $$

$$ ただし、\begin{cases} \begin{eqnarray} u&:=&t\bmod\tau,\\ \beta&:=&\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau],\\ K_{\mathrm{MPF}}&:=&K_{\mathrm{IF,MPF}}+K_{\mathrm{SM,MPF}}-K_{\mathrm{IF,MPF}}K_{\mathrm{SM,MPF}}\\ \end{eqnarray}\end{cases} $$

RAMS 2022においてMPF detectedの再考に基づくPMHF式の論文発表が終了したため、秘匿部分を開示します。

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